Hola Fronters, espero que estén muy bien. En este tutorial les explicaré de forma rápida y sencilla como cambiar la clave de root de MySQL en Linux, específicamente en distribuciones Debian y Ubuntu. Cabe mencionar que es factible que funcione en distros basadas en CentOS / RHEL, pero honestamente no lo he probado aun, así que si hay alguien que lo llegue a probar, por favor, dejarlo en los comentarios y gracias de antemano.
Recuperar el root del MySQL ¿Qué sucedió?
Los pongo en contexto: estuve ayudando a unos amigos a resolver unos problemas en su infraestructura. Estos se encontraron con que uno de los servidores de BD empezó a fallar y la única manera de poder resolver era hacer unos cambios y por ende necesitaba la clave de root del servicio MySQL. Este servidor lo administraba otra persona, la cual ya no pertenece al equipo, pero por cosas del destino, no pudieron comunicarse con ésta, sino hasta que ya se había hecho el cambio y se necesitaba resolver rápidamente.
Entonces se siguieron una serie de pasos, los cuales replicaremos en este corto tutorial, el cual no es otra cosa sino la reproducción de la eventualidad y cómo se logró solventar en el menor tiempo posible:
Y… Comenzamos!!!
Primero que nada, un café… Sin el cafécito no funciono…Listo.
Bueno, lo primero que hay que hacer es detener el servicio:
systemctl stop mysql
Una vez detenido el servicio, creamos el directorio /var/run/mysqld y luego levantamos el servicio mysql saltándonos todas configuraciones de privilegios y de red. Es como si se levantara el MySQL a modo Prueba de Errores, con todo lo mínimo necesario para poder realizar acciones administrativas de emergencia:
mkdir -p /var/run/mysqld
chown mysql:mysql /var/run/mysqld
/usr/sbin/mysqld --skip-grant-tables --skip-networking &

Ahora nos logueamos en MySQL sin colocar el parámetro de solicitud de contraseña, el cual viene a ser el -p :
mysql -u root
Una vez ahí adentro ejecutamos los siguientes comandos:
Refrescamos los privilegios, seleccionamos la base de datos mysql y haremos una consulta a la tabla user, en la que veremos el usuario y el host al cual está asociado cada usuario:
flush privileges;
use mysql;
SELECT user,host FROM user;
Y observaremos si nuestro usuario aparece (obviamente si es root, lo veremos ahí) y el host al cual pertenece:
+------------------+-----------------+
| user | host |
+------------------+-----------------+
| root | localhost |
| debian-sys-maint | localhost |
| jack | localhost |
| root | localhost |
| root | russ-elite-book |
+------------------+-----------------+
5 rows in set (0.00 sec)

En ese caso, procedemos a cambiar la información del usuario root con el método que viene a continuación. Si no funciona este método, prueba con el segundo que está más abajo.
Primer Método
Haremos una alteración del campo password de la tabla de usuarios que coincida con el patrón solicitado.
ALTER USER 'root'@'localhost' IDENTIFIED BY 'Nu3vo.P4ssw0rD';
Luego refrescamos privilegios y salimos:
flush privileges;
exit;

Continuamos, saltando este tutorial a los pasos finales:
Segundo Método
En caso de que el primero no nos funcione haremos lo siguiente:
Eliminamos el usuario root:
drop user 'root'@'localhost';
Refrescamos los privilegios:
flush privileges;
Creamos el nuevo usuario root:
create user 'root'@'localhost' IDENTIFIED WITH mysql_native_password BY 'Nu3vo.P4ssw0rD';
Otorgamos los privilegios totales, renovamos los privilegios, guardamos y salimos:
grant all on *.* to 'root'@'localhost' with grant option;
flush privileges;
exit;

Ya estamos a punto de finalizar, otro cafécillo y seguimos con los pasos finales!!!
Pasos finales
Terminamos los procesos concernientes al MySQL. Lo podemos hacer de varias formas:
Así:
kill %1
O así, con el ID de proceso del MySQL:
kill -9 PID
O si eres práctico y radical, (como yo), ejecutamos el comando pkill:
pkill mysqld
De último, levantamos el servicio mysql:
systemctl status mysql
Y hacemos la prueba de autenticación a ver si funciona o no:
mysql -u root -p
Y funcionó.

Espero que les haya gustado y les haya servido. Hasta luego Fronters!!!
Referencias
Linux Config.org: How to reset MySQL root password on your Linux server
Dev.mysql.com: B.3.3.2 How to Reset the Root Password
StackOverflow